II. Módulo

Definição

    Sendo x ∈ ℝ, define-se módulo ou valor absoluto de x, que se indica por ∣x∣, por meio da relação:

Isso significa que:

1º) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;

2º) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.

Assim, por exemplo, temos:

∣+2∣ = +2, ∣–7∣ = +7, ∣0∣ = 0, ∣–3/5∣ = +3/5, ∣–√2∣ = +√2, ∣+√3∣ = +√3

Propriedades

Decorrem da definição as seguintes propriedades:

1ª) ∣x∣ ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ

2ª) ∣x∣ = 0 ⇔ x = 0

3ª) ∣x∣.∣y∣ = ∣xy∣, ∀x, y ∈ ℝ

4ª) ∣x∣² = x², ∀ x ∈ ℝ

5ª) x ≤ ∣x∣, ∀ x ∈ ℝ

6ª) ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣, ∀ x, y ∈ ℝ

7ª) ∣x − y∣ ≥ ∣x∣ − ∣y∣, ∀ x, y ∈ ℝ

8ª) ∣x∣ ≤ a e a > 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a

9ª) ∣x∣ ≥ a e a > 0 ⇔  x ≤ −a ou x ≥ a